Progressão Aritmética ou simplesmente PA, é uma sucessão de números, onde cada termo, á partir do segundo, resulta da adição do termo anterior com um valor constante chamada de razão da PA
Com base na definição podemos entender que:
a1 + r = a2,
a2 + r = a3
a3 + r = a4 r → Razão
a4 + r = a5
a5 + r = a6
Podemos entender que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um valor constante.
Vamos escrever uma Progressão Aritmética de 4 termos, onde o primeiro termo é 3 e a razão é 4.
a1 + r = 3 + 4 = 7, → a2 = 7
a2 + r = 7 + 4 = 11, → a3 = 11
a3 + r = 11 + 4 = 15, → a4 = 15
Sendo assim, a PA tem a seguinte sequência (3, 7, 11, 15)
Notem que cada termo, á partir do segundo, é sempre maior que seu antecessor. Isso acontece pelo fato da razão ser positivo, esse tipo de PA é chamada de crescente.
Agora vamos determinar uma PA de 5 termos, onde o primeiro termo é 6 e a razão é -2.
a1 + r = 5 + (-2) = 5 – 2 = 3 → a2 = 3
a2 + r = 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 → a3 = 1
a3 + r = 1 + (-2) = 1 – 2 = -1 → a4 = -1
a4 + r = -1 + (-2) = -1 – 2 = -3 → a5 = -3
Então, a sequência dessa PA fica assim (3, 1, -1, -3)
Já neste exemplo, cada termo, á partir do segundo, é sempre menor que seu antecessor. Nesse caso, pelo fato da razão ser negativo, esse tipo de PA é chamada de decrescente.
Para encontrarmos a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo de seu antecessor, como por exemplo: a2 – a1 ou a3 – a2 ou a4 – a3.
Então de um modo geral r = an – an-1
Vamos encontrar a razão da seguinte PA (2, 7, 12, ...)
r = a3 – a2 = 12 – 7 = 5 → r = 5
r = a2 – a1 = 7 – 2 = 5 → r = 5
TERMO GERAL DE UMA PA
O termo geral de uma PA, é uma formula, pela qual, podemos encontrar qualquer termo de uma PA.
Vamos considerar a seguinte sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an, an+1)
Já vimos que:
a1 + r = a2, a2 + r = a3, a3 + r = a4, ...
Para encontrar o terceiro termo, vamos substituir a2 por a1 + r, então,
a2 + r = a3 → a1 + r + r = a3 → a1 + 2r = a3
Para encontrar o quarto termo, vamos substituir a3 por a1 + 2r, então,
a3 + r = a4 → a1 + 2r + r = a4 → a1 + 3r = a4
Então, para encontrar o enésimo termo, vamos fazer assim:
an = a1 + (n -1)r
Os elementos do termo geral da PA são:
a1 → Primeiro termo
an → Enésimo termo
n → Número de termos
r → Razão
Obs.: Numa PA de três termos consecutivos, o termo do meio é a média aritmética entre os termos da extremidade.
Exemplos:
1. A sequência (-2, 3, 8, ... , x) é uma PA de nove termos, que número está representado por x nessa sequência?
Resolução
Primeiro encontramos a razão r = a2 – a1 = 3 – (- 2) = 3 + 2 = 5,
Como são nove termos, então n = 9
O primeiro termo é -2, então a1 = -2
Vamos encontrar a9.
a9 = a1 + (n – 1)·r
a9 = -2 + (9 – 1)·5
a9 = -2 + 8·5 Então, o nono termo é 38.
a9 = -2 + 40
a9 = 38
2. A sequência (2x, 4x+1, 5x+6) está em progressão aritmética, determine os termos e a razão desta PA.
a2 – a1 = a3 – a2
4x + 1 – 2x = 5x + 6 –(4x + 1)
4x + 1 – 2x = 5x + 6 – 4x – 1
4x – 2x – 5x + 4x = 6 -1 - 1
x = 4
a1 = 2x = 2·4 = 8 → → → → a1 = 8
a2 = 4x + 1 = 4·4 + 1 = 16 – 1 = 17 → a2 = 17
a3 = 5x + 6 = 5·4 + 6 = 20 + 6 = 26 → a3 = 26
Então a PA tem os seguintes termos (8, 17, 26)
Para encontrar a razão basta fazer 17 – 8 = 9 ou 26 – 17 = 9, então a razão
é igual a 9 ( r = 9 )
3. Calcule o número de termos da PA (-3, 1, 5, ..., 65).
r = 5 -1 = 4
a1 = -3
an = 65
n = ?
an = a1 + (n – 1)·r
65 = -3 + (n – 1)·4 Então, essa PA tem 18 termos.
65 = -3 + 4n – 4
- 4n = -3 – 4 - 65
- 4n = -3 – 4 - 65
- 4n = -72 ·(-1)
4n = 72
n = 72/4
n = 18
4. Sabe-se que o primeiro termo de uma PA é 3 e o nono é 21, encontre a razão dessa PA.
r = ?
a1 = 3
a9 = 21
n = 9
an = a1 + (n – 1)·r
a9 = a1 + (n – 1)·r
21 = 3 + (9 – 1)·r Então, a razão da PA é 9/4
21 = 3 + 8·r
- 8r = 3 – 21
- 8r = -18 ·(-1)
8r = 18
r = 18/8 (:2)
r = 9/4
5. (UFU-MG) Sabendo-se que o quinto e o oitavo termo de uma progressão aritmética crescente são as raízes da equação x2 -14x + 40 = 0, qual o terceiro termo dessa progressão?
6. (Faap-SP) As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:
a) 68º b) 72º c) 76º
d) 80º e) 82º
a2 – a1 = a3 – a2
4x + 1 – 2x = 5x + 6 –(4x + 1)
4x + 1 – 2x = 5x + 6 – 4x – 1
4x – 2x – 5x + 4x = 6 -1 - 1
x = 4
a1 = 2x = 2·4 = 8 → → → → a1 = 8
a2 = 4x + 1 = 4·4 + 1 = 16 – 1 = 17 → a2 = 17
a3 = 5x + 6 = 5·4 + 6 = 20 + 6 = 26 → a3 = 26
Então a PA tem os seguintes termos (8, 17, 26)
Para encontrar a razão basta fazer 17 – 8 = 9 ou 26 – 17 = 9, então a razão
é igual a 9 ( r = 9 )
3. Calcule o número de termos da PA (-3, 1, 5, ..., 65).
r = 5 -1 = 4
a1 = -3
an = 65
n = ?
an = a1 + (n – 1)·r
65 = -3 + (n – 1)·4 Então, essa PA tem 18 termos.
65 = -3 + 4n – 4
- 4n = -3 – 4 - 65
- 4n = -3 – 4 - 65
- 4n = -72 ·(-1)
4n = 72
n = 72/4
n = 18
4. Sabe-se que o primeiro termo de uma PA é 3 e o nono é 21, encontre a razão dessa PA.
r = ?
a1 = 3
a9 = 21
n = 9
an = a1 + (n – 1)·r
a9 = a1 + (n – 1)·r
21 = 3 + (9 – 1)·r Então, a razão da PA é 9/4
21 = 3 + 8·r
- 8r = 3 – 21
- 8r = -18 ·(-1)
8r = 18
r = 18/8 (:2)
r = 9/4
5. (UFU-MG) Sabendo-se que o quinto e o oitavo termo de uma progressão aritmética crescente são as raízes da equação x2 -14x + 40 = 0, qual o terceiro termo dessa progressão?
6. (Faap-SP) As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:
a) 68º b) 72º c) 76º
d) 80º e) 82º
Porque, qual é a nossa esperança, ou gozo, ou coroa de glória, diante de nosso Senhor Jesus na sua vinda? Porventura não o sois vós? (1º Tessalonicenses 2.19)