Questão ENEM 2021

Prova azul - questão 136

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ² = φ + 1.

Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.


A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é:

a) 5φ + 3

b) 7φ + 2

c) 9φ + 6

d) 11φ + 7

e) 13φ + 8

Resposta

Podemos resolver essa questão aplicando as propriedades da potência

φ7 = φ2 * φ5 ou φ7 = φ3 * φ4.

Vamos resolver com φ7 = φ2 * φ5

Observando o quadro, vemos que: φ2 = φ + 1 e φ5 = 5φ + 3

Fazendo a substituição, teremos φ7 = (φ + 1) * (5φ + 3)

Agora vamos aplicar a propriedade distributiva

φ7 = 5φ2 + 3φ + 5φ + 3, mais uma vez aparece φ2, faremos outra substituição

φ7 = 5(φ + 1) + 3φ + 5φ + 3, e aplicamos a propriedade distributiva novamente

φ7 = 5φ + 5 + 3φ + 5φ + 3, para concluir, é só somar os termos semelhantes

φ7 = 13φ + 8

Resposta correta, letra "E".