Prova azul - questão 136
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ² = φ + 1.
Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é:
a) 5φ + 3
b) 7φ + 2
c) 9φ + 6
d) 11φ + 7
e) 13φ + 8
Resposta
Podemos resolver essa questão aplicando as propriedades da potência
φ7 = φ2 * φ5 ou φ7 = φ3 * φ4.
Vamos resolver com φ7 = φ2 * φ5
Observando o quadro, vemos que: φ2 = φ + 1 e φ5 = 5φ + 3
Fazendo a substituição, teremos φ7 = (φ + 1) * (5φ + 3)
Agora vamos aplicar a propriedade distributiva
φ7 = 5φ2 + 3φ + 5φ + 3, mais uma vez aparece φ2, faremos outra substituição
φ7 = 5(φ + 1) + 3φ + 5φ + 3, e aplicamos a propriedade distributiva novamente
φ7 = 5φ + 5 + 3φ + 5φ + 3, para concluir, é só somar os termos semelhantes
φ7 = 13φ + 8
Resposta correta, letra "E".